ANALISI MATEMATICA 1

Crediti: 
12
Settore scientifico disciplinare: 
ANALISI MATEMATICA (MAT/05)
Anno accademico di offerta: 
2016/2017
Semestre dell'insegnamento: 
Primo Semestre
Lingua di insegnamento: 

Italiano

Obiettivi formativi

Conoscenze e capacità di comprendere:
Alla fine del percorso di insegnamento lo studente dovrà conoscere le definizioni e risultati fondamentali dell'analisi in una variabile, e dovrà essere in grado di comprendere come questi entrano nella risoluzione di problemi.

Competenze:
Lo studente dovrà essere in grado di applicare le conoscenze acquisite per la risoluzione di problemi anche mediamente elaborati, e di comprenderne l'uso nei corsi applicativi.

Autonomia di giudizio:
Lo studente dovrà essere in grado di valutare la coerenza e correttezza dei risultati ottenuti da lui o fornitigli.

Capacità comunicative:
Lo studente dovrà essere in grado di comunicare in modo chiaro e preciso anche al di fuori di un contesto di calcolo.

Prerequisiti

Conoscenze preliminari: algebra elementare; trigonometria; geometria analitica; potenze razionali; esponenziali e logaritmi; funzioni elementari.

Contenuti dell'insegnamento

Logica: proposizioni e predicati; insiemi; funzioni; relazioni d'ordine e di equivalenza.

Insiemi numerici: numeri naturali e principio di induzione; calcolo combinatorio e probabilita' elementare; numeri interi e razionali; numeri reali; numeri complessi e radici n-esime.

Funzioni reali: estremi di funzioni reali; funzioni monotone; funzioni pari e dispari; potenze; valore assoluto; funzioni trigonometriche; funzioni iperboliche; grafici di funzioni reali.

Successioni: cenni di topologia; successioni e loro limiti; teoremi di confronto e teoremi algebrici; continuita'; successioni monotone; teoremi di Bolzano-Weierstrass e di Cauchy; esempi fondamentali; il numero di Nepero; successioni definite per ricorrenza; successioni complesse.

Funzioni continue: limiti di funzioni; continuita'; prime proprieta' delle funzioni continue; funzioni continue su un intervallo (zeri, valori intermedi); teorema di Weierstrass; funzioni uniformemente continue, teorema di Heine-Cantor, Lipschitzianita'; infinitesimi.

Derivate: definizione di derivata e prime proprieta'; operazioni algebriche sulle derivate; derivate e proprieta' locali delle funzioni; teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy; forme indeterminate e teoremi di de l'Hopital, formule di Taylor e vari resti, sviluppi asintotici; funzioni convesse; studio qualitativo delle funzioni.

Integrazione: costruzione dell'integrale e prime proprieta'; primitive; metodi di integrazione; integrali generalizzati; integrazione delle funzioni razionali.

Serie: definizione di serie e prime proprieta'; criteri di convergenza per serie a termini non negativi; serie a termini di segno alternato.

Programma esteso

Conoscenze preliminari: algebra elementare; trigonometria; geometria analitica; potenze razionali; esponenziali e logaritmi; funzioni elementari.
Logica: proposizioni e predicati; insiemi; funzioni; relazioni d'ordine e di equivalenza.
Insiemi numerici: numeri naturali e principio di induzione; calcolo combinatorio e probabilità elementare; numeri interi e razionali; numeri reali; numeri complessi e radici n-esime.
Funzioni reali: estremi di funzioni reali; funzioni monotone; funzioni pari e dispari; potenze; valore assoluto; funzioni trigonometriche; funzioni iperboliche; grafici di funzioni reali.
Successioni: cenni di topologia; successioni e loro limiti; teoremi di confronto e teoremi algebrici; continuità; successioni monotone; teoremi di Bolzano-Weierstrass e di Cauchy; esempi fondamentali; il numero di Nepero "e"; successioni definite per ricorrenza; successioni complesse.
Funzioni continue: limiti di funzioni; continuità; prime proprietà delle funzioni continue; funzioni continue su un intervallo (zeri, valori intermedi); teorema di Weierstrass; funzioni uniformemente continue, teorema di Heine-Cantor, Lipschitzianità; infinitesimi.
Derivate: definizione di derivata e prime proprietà; operazioni algebriche sulle derivate; derivate e proprietà locali delle funzioni; teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy; forme indeterminate e teoremi di de l'Hôpital, formule di Taylor e vari resti, sviluppi asintotici; funzioni convesse; studio qualitativo delle funzioni.
Integrazione: costruzione dell'integrale e prime proprietà; primitive; metodi di integrazione; integrali generalizzati; integrazione delle funzioni razionali.
Serie: definizione di serie e prime proprietà; criteri di convergenza per serie a termini non negativi; serie a termini di segno alternato.

Bibliografia

per la parte teorica e gli esercizi
E. ACERBI e G. BUTTAZZO: Primo corso di Analisi matematica, Pitagora editore, Bologna, 1997
D. MUCCI: Analisi matematica esercizi vol.1, Pitagora editore, Bologna, 2004

per gli esercizi da esame
E. ACERBI: Esami di Analisi matematica 1, Pitagora editore, Bologna, 2012

Metodi didattici

Modalita' di insegnamento:

Lezioni frontali, attivita' di esercitazione divise in gruppi

Modalita' d'esame:

Prova scritta (divisa in due parti) e prova orale

Modalità verifica apprendimento

Esame scritto e orale a fine corso