GEOMETRIA

Crediti: 
9
Settore scientifico disciplinare: 
GEOMETRIA (MAT/03)
Anno accademico di offerta: 
2016/2017
Semestre dell'insegnamento: 
Secondo Semestre
Lingua di insegnamento: 

italiano

Obiettivi formativi

Conoscenza e capacità di comprensione
Lo studente apprenderà le nozioni e le tecniche di base dell'algebra lineare e della geometria Euclidea.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Lo studente saprà: i) risolvere sistemi di equazioni lineari; ii) semplici esercizi di geometria analitica nello spazio; operare su vettori e matrici; iii) diagonalizzare operatori e matrici.

Contenuti dell'insegnamento

Il corso è una introduzione alle nozioni di base dell'algebra lineare e della geometria. La prima parte studia la geometria euclidea nello spazio (vettori, rette, piani), mentre la seconda parte è rivolta allo studio di matrici e sistemi lineari. Nella terza parte si studiano gli spazi vettoriali, le applicazioni lineari e il problema della diagonalizzazione degli operatori e delle matrici. Il corso termina con la trattazione dei prodotti scalari ed Hermitiani.

Programma esteso

Geometria euclida e prodotto vettoriale. Elementi di geometria analitica dello spazio. Equazioni parametriche e cartesiane di una retta. Posizione reciproca di due rette; rette sghembe. Equazione di un piano. Prodotto scalare canonico e distanza. Prodotto vettore e sue proprietà fondamentali. Spazi vettoriali reali e complessi. Sottospazi vettoriali: somma e intersezione. Combinazione lineare di vettori: dipendenza/indipendenza lineare. Generatori, basi e dimensione di uno spazio vettoriale. Formula di Grassmann. Determinanti: definizione tramite le formule di Laplace e proprietà fondamentali. Teorema di Binet.
Operazioni elementari di riga e colonna su matrici. Calcolo della matrice inversa. Rango di una matrice. Sistemi lineari. Metodo di Gauss-Jordan e teorema di Rouché Capelli. Applicazioni lineari. Definizione di nucleo e di immagine; teorema fondamentale sulle applicazioni lineari. Matrice associata ad una applicazione lineare e regola di cambiamento di base. Isomorfismi e applicazioni inverse. Endomorfismi di uno spazio vettoriale: autovalori, autovettori e autospazi. Polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Endomorfismi diagonalizzabili.
Prodotti scalari. Complemento ortogonale di un sottospazio. Processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Rappresentazione di isometrie tramite matrici ortogonali. Il gruppo ortogonale. Diagonalizzazione di matrici simmetriche: teorema spettrale. Criterio di positività per prodotti
scalari. Cenni al caso complesso.

Bibliografia

M. Abate, C. De Fabritiis, Geometria analitica con elementi di algebra lineare, 2a ed., Mc Graw-Hill, 2010.

Metodi didattici

Durante le lezioni frontali verranno proposti gli argomenti del corso dal punto di vista formale, corredati da esempi significativi e applicazioni, e numerosi esercizi. Gli esercizi sono uno strumento essenziale in algebra lineare e geometria; per questo, in aggiunta alle lezioni, saranno proposti esercizi da svolgere in modo guidato nell’ambito del Progetto IDEA.

Modalità verifica apprendimento

La verifica dell'apprendimento prevede un esame finale comprendente un test preliminare a risposta multipla, un elaborato scritto e un colloquio orale. Potrebbero essere previste due prove intermedie durante il corso, che valgono ai fini del superamento della prova scritta e test finali. Nella prova scritta, attraverso i test e gli esercizi proposti, lo studente dovra'
dimostrare di possedere le conoscenze di base dell'algebra lineare e della geometria. Nel colloquio orale lo studente dovrà essere in grado di enunciare e dimostrare i risultati presentati durante le lezioni, utilizzando un linguaggio appropriato ed un formalismo matematico corretto