ANALISI MATEMATICA 2

Docenti: 
LORENZI Luca Francesco Giuseppe
Codice dell'insegnamento: 
10362*4944*2016*2015*9999
Crediti: 
6
Sede: 
PARMA
Anno accademico di offerta: 
2017/2018
Settore scientifico disciplinare: 
ANALISI MATEMATICA (MAT/05)
Semestre dell'insegnamento: 
Primo Semestre
Lingua di insegnamento: 

Italiano

Lingua dell'insegnamento: 

Italiano

Obiettivi formativi

Conoscenze e capacità di comprendere:
Alla fine dell’insegnamento lo studente dovrà acquisire la capacità di comprendere il concetto di limite e di continuità per funzioni di più variabili, le conoscenze fondamentali del calcolo differenziale ed integrale in più variabili e la teoria di risoluzione delle equazioni differenziali ordinarie lineari di ordine n a coefficienti costanti e continui

Competenze:
Le competenze acquisite permetteranno di poter calcolare i punti di minimo e massimo assoluti di una funzione regolare in più variabili su un insieme n-dimensionale chiuso e limitato con bordo regolare, di calcolare il volume di un insieme limitato n-dimensionale con bordo regolare, di determinare la soluzione

Conoscenze e capacità di comprendere.

Al termine dell’attività formativa lo studente dovrebbe aver acquisito conoscenze e competenze relative agli elementi di base del calcolo differenziale ed integrale per funzioni di più variabili reali, della teoria delle equazioni differenziali ordinarie e della teoria delle curve in spazi n-dimensionali.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione.

Attraverso le esercitazioni svolte in aula lo studente apprende come applicare le conoscenze teoriche acquisite alla risoluzione di problemi concreti, quali problemi di ottimizzazione, modelli delle scienze applicate che portano alla risoluzione di equazioni differenziali o di calcolo di particolari integrali per funzioni di più variabili.

Autonomia di giudizio.

Lo studente dovrà essere in grado di valutare la coerenza e correttezza dei risultati ottenuti da lui o da altri.

Capacità comunicative.

Lo studente dovrà essere in grado di comunicare in modo chiaro e preciso contenuti matematici relativi al programma svolto, anche al di fuori di un contesto esclusivamente applicativo. Le lezioni frontali e il confronto diretto con il docente favoriranno l'acquisizione da parte dello studente di un lessico scientifico specifico e appropriato.

Capacità di apprendimento.

Lo studente dopo aver seguito il corso sarà in grado di approfondire autonomamente le proprie conoscenze nell'ambito del calcolo differenziale e dell'integrazione per funzioni di più variabili, partendo dalle conoscenze basilari e fondamentali fornite dal corso.
Sarà in grado di consultare in modo autonomo testi specialistici, anche al di fuori degli argomenti trattati in dettaglio durante le lezioni, al fine di affrontare efficacemente l'inserimento nel mondo del lavoro o intraprendere percorsi di formazione successivi, nei quali sia richiesto l'uso della matematica.

Prerequisiti

E’ obbligatorio aver superato l’esame di Analisi Matematica 1 e Geometria.

E’ obbligatorio aver superato l’esame di Analisi Matematica 1 e Geometria.

Contenuti dell'insegnamento

1-Topologia euclidea sullo spazio n-dimensionale reale.
2-Limite e continuità per funzioni di variabile vettoriale a valori vettoriali.
3-Calcolo differenziale per funzioni di variabile vettoriale a valori vettoriali.
4-Integrale di Riemann per funzioni di variabile vettoriale.
5-Equazioni differenziali ordinarie lineari a coefficienti continui.

Il corso si propone di fornire allo studente i concetti fondamentali del calcolo differenziale ed integrale per funzioni di più variabili reali, delle curve in R^n e delle equazioni differenziali ordinarie, integrabili elementarmente.

Programma esteso

1-Topologia euclidea sullo spazio n-dimensionale reale.
1.1 Prodotto scalare euclideo e sue proprietà.
1.2 Norma euclidea, sue proprietà e disuguaglianza di Schwarz.
1.3 Distanza euclidea, sue proprietà e sistema fondamentale di intorni di un punto.
1.4 Definizione di punto interno, di parte interna di un insieme, di insieme aperto e proprietà degli insiemi aperti.
1.5 Definizione di insieme chiuso e proprietà degli insiemi chiusi.
1.6 Definizione di punto di accumulazione, di punto isolato, di chiusura di un insieme, di punto di frontiera e di frontiera di un insieme.

2-Limite e continuità per funzioni di variabile vettoriale a valori vettoriali.
2.1 Definizione di limite di una successione vettoriale, di limite di una funzione di variabile vettoriale a valori vettoriali, unicità del limite, e proprietà dei limiti.
2.2 Definizione di continuità per una funzione di variabile vettoriale a valori vettoriali e proprietà delle funzioni continue.
2.3 Insiemi compatti,loro caratterizzazione e teorema di Weierstrass.

3-Calcolo differenziale per funzioni di variabile vettoriale a valori vettoriali.
3.1 Derivate parziali e derivate direzionali.
3.2 Differenziabilità per funzioni di variabile vettoriale a valori reali.
3.3 Teorema del differenziale totale.
3.4 Differenziabilità per funzioni di variabile vettoriale a valori vettoriali.
3.5 Differenziabilità delle funzioni composte.
3.6 Derivate parziali di ordine superiore e teorema di Schwarz.
3.7 Formula di Taylor arrestata al secondo ordine.
3.8 Punti stazionari e condizione necessaria affinché un punto sia di minimo o massimo relativo interno.
3.9 La matrice Hessiana e condizione sufficiente affinché un punto sia di minimo (massimo) relativo interno.
3.10 Punti stazionari vincolati.

4-Integrale di Riemann per funzioni di variabile vettoriale.
4.1 Definizione di funzione integrabile secondo Riemann su un insieme limitato regolare n-dimensionale e proprietà dell’integrale.
4.2 Teorema di riduzione degli integrali multipli.
4.3 Teorema del cambio di variabile negli integrali multipli.

5-Equazioni differenziali ordinarie lineari a coefficienti continui.
5.1 Teorema di caratterizzazione delle soluzioni delle equazioni differenziali ordinarie lineari a coefficienti continui di ordine n.
5.2 Teorema di esistenza ed unicità della soluzione del problema di Cauchy.
5.3 Metodo per la determinazione di n soluzioni linearmente indipendenti dell’equazione omogenea a coefficienti costanti.
5.4 Metodo per la determinazione di una soluzione particolare dell’equazione non omogenea.

1) Curve.

Curve orientate: semplici, chiuse, lisce e regolari; vettore tangente e retta tangente; lunghezza di una curva e rettificabilità delle curve lisce; curve equivalenti e ascissa curvilinea, integrale curvilineo

2) Elementi di topologia in R^n.

Punti interni, di accumulazione e di frontiera; insiemi aperti ed insiemi chiusi; insemi compatti, insiemi connessi e insieme convessi.

3) Calcolo differenziale per funzioni di più variabili.

Limiti e continuità: limiti per funzioni di più variabili reali; funzioni continue di più variabili reali; teoremi di Weierstrass e di esistenza degli zeri.
Calcolo differenziale: derivate direzionali e parziali, funzioni differenziabili scalari e vettoriali, gradiente e suo significato; piano tangente, vettori tangenti e normali al grafico di una funzione; differenziabilità della funzione composta; funzioni con gradiente nullo; funzioni differenziabili di classe C^1. Funzioni di classe C^2, teorema di Schwarz e matrice Hessiana; formula di Taylor del secondo ordine; massimi e minimi locali e globali, punti di sella; condizioni necessarie e/o sufficienti per l'ottimizzazione di funzioni.
Moltiplicatori di Lagrange.

4) Integrali multipli (doppi e tripli).

Integrazione: insiemi misurabili e misura secondo Peano-Jordan; integrale e sue proprietà; funzioni integrabili; teoremi di riduazione. Cambio di variabili negli integrali multipli: teorema di cambiamento di variabili negli integrali multipli; cambiamento di coordinate polari piane, sferiche e cilindriche.

5) Equazioni Differenziali Ordinarie.

Equazioni differenziali lineari del primo ordine con coefficienti continui, a variabili separabili, lineari di ordine n a coefficienti costanti; formula di variazione delle costanti arbitrarie di Lagrange.

Bibliografia

Qualsiasi testo di Elementi di Analisi Matematica 2.

Marino Belloni, Luca Lorenzi: Analisi Matematica 2 - Teoria. Ed. Santa Croce.

Marino Belloni, Luca Lorenzi: Analisi Matematica 2 - Esercizi. Ed. Santa Croce.

Metodi didattici

La didattica si articolerà in lezioni frontali di teoria svolte dal docente alla lavagna e in esercitazioni atte ad illustrare ed applicare la teoria precedentemente svolta.

Il corso prevede 4 ore di didattica frontale a settimana più 2 ore di esercizi aggiuntivi.

Durante le lezioni frontali, in modalità tradizionale, gli argomenti verranno presentanti in modo formale e rigoroso. Il corso darà particolare enfasi agli aspetti applicativi e di calcolo, pur non tralasciando l'aspetto teorico. A tale scopo risulteranno particolarmente importanti le esercitazioni svolte in aula nelle quale lo studente imparerà ad applicare la teoria vista a lezione alla risoluzione di un determinato problema concreto.

Modalità verifica apprendimento

Non sono previste prove in itinere.
E’ prevista una prova scritta finale a risposte libere della durata di tre ore e articolata in tre o quattro quesiti di tipo computazionale e teorico. Lo studente può accettare il voto della prova scritta se esso risulta sufficiente od eventualmente migliorarlo con la prova orale.

La verifica dell'apprendimento avviene in forma tradizionale attraverso la valutazione di un elaborato scritto nel quale lo studente dovrà dimostrare di conoscere gli argomenti svolti e di sapere applicare le conoscenze, risolvendo esercizi sia a risposta multipla che a risposta aperta.
La prova è superata se lo studente raggiunge un punteggio almeno pari a 18. Il voto massimo della prova è 33 e allo studente che nella prova ottenga un punteggio superiore a 30 viene attribuito il punteggio di 30 e lode.
Lo studente che abbia superato l'esame può richiedere di sostenere anche un esame orale. La richiesta deve essere formulata al docente del corso prima della scadenza dei termini per l'accettazione del voto su ESS3. L'orale verterà su tutto il programma svolto a lezione e potrà consistere sia di domande teoriche (definizioni, teoremi) che di ulteriori esercizi.

Altre informazioni

E’ vivamente consigliata la frequenza del corso.

Seppure il corso non abbia obbligo di frequenza, è caldamente consigliata la frequenza del corso.